Почему вы сомневаетесь?

[Дориан Грей]

Вы мне на пальцах математику не пересказывайте. Сам в курсе. Но проблема то не в этом. А втом, что всю эту аксиоматику ещё вывести надо уметь. И чем сложнее исследуемые системы тем труднее. Хотя это и так понятно. Наверное...

[KWAKS]

Вы мне на пальцах математику не пересказывайте. Сам в курсе. Но ... Наверное...
_________________
Я проснулся ...

Видимо - не совсем .......

Ибо : чтобы *всю эту аксиоматику ещё вывести ..* -
существуют Академики и Академии !

И именно у них - ПРЯМАЯ ЗАДАЧА : через *всю эту аксиоматику  ..* -
прямиком к установлению связи *причина-следствие* !

Другое дело , что они зачастую уподобляются известным персонажам :

*Товарищи-учёные ! Доценты с Кадидатами ! ! !
Сидите-разлагаете .. молекулы на атомы ..
Забыв, что разлагается - картофель на полях*.

Но это - уже к нашему рассмотрению :
math писал(а):

,...

Логика, чувствую, требует очень много времени

никак не относится ......

[®)) PI-H ((®]

Можно добавить, что мы имеем знание, истину в логике. В теориях. Поэтому 2х2=4 в математике - это истина.

Меня всегда интересовало, как с помощью логики можно убедиться в том, что 2х2=4. Вы не можете мне в этом помочь, логически обосновать это равенство?

Легко! Всё дело в визуальном представлении, а визуальное представление следующее... Вы выкладываете в общем случае прямоугольник у которого по вертикали в данном случае два кружочка, а по горизонтали в данном случае опять же два. Так вот умножая вертикальное количество кружочков на горизонтальное вы должны получить общее количество кружочков в построенном с помощью них в общем случае прямоугольнике. В данном конкретном случае Вам очень легко просто пересчитать общее число кружочков и убедиться, что их действительно четыре как гласит умножение. Таким макаром вы можете проверить хоть всю таблицу умножения, если конечно хватит терпения...

А при чем тут логика? Вы приводите описание эксперимента, а не логическое доказательство. Разницу понимаете?

      Разницу разумеется понимаю, к тому же где-то в соседней теме уже высказывалось, что бесконечное число экспериментов подтверждающих теорему не являются её доказательством.

К тому же "четыре кружочка" это совсем не то же самое, что число "четыре". Или Вы предложите проверить то же для двух и двух квадратиков, треугольничков равносторонненьких, треугольничков тупоугольненьких, вишенок, яблочек, камешков беленьких, камешков черненьких,...

      Ну хорошо, а как Вы себе понимаете не «четыре» чего-нибудь, а просто число «четыре»?

Логика, чувствую, требует очень много времени для получения даже простейших результатов.

      Сама логика, нет, не требует. А процесс убеждения в том, что логика нигде не была нарушена и предпосылки верны, вот на это может потребоваться время...

      Попробую резюмировать... Вы ставите под вопрос арифметические операции и просите их доказать логическими операциями? А потом Вы не попросите доказать логические операции?

[math]

Ну хорошо, а как Вы себе понимаете не «четыре» чего-нибудь, а просто число «четыре»?

Насколько я знаю, не существует вполне ясного определения, что есть число. Может ли логика доказывать что-либо относительно того, чему нет ясного определения? Яв этом сомневаюсь.

Как видите, в данном случае я занимаю позицию, скорее, сомневающегося (согласно заглавию темы, никакого оффтопа), чем верующего ("веруна", в терминологии данного форума) или аверуна ("атеиста", в терминологии данного форума).

Попробую резюмировать... Вы ставите под вопрос арифметические операции и просите их доказать логическими операциями? А потом Вы не попросите доказать логические операции?

Вернемся к началу. Как всегда, спор шел о знании/вере. Далее, как пример знания, безусловно не похожего на веру

Можно добавить, что мы имеем знание, истину в логике. В теориях. Поэтому 2х2=4 в математике - это истина.

Я ответил: Меня всегда интересовало, как с помощью логики можно убедиться в том, что 2х2=4. Вы не можете мне в этом помочь, логически обосновать это равенство?

То есть, я выразил сомнение в том, что утверждение 2х2=4 есть истина, доказываемая с помощью логики. Тут к дискуссии присоединились Вы, и попытались дать соответствующее доказательство с помощью логики. На мой взгляд (простите!) у Вас это не вышло.

Вообще говоря, я не знаю, как доказать, что 2х2=4. Но я в это верю.

Резюмирую. Я думаю, что не существует знания, которое можно было бы доказать чисто логическим путем. Любое знание (в том числе, "научное") содержит компоненту, подобную вере, и без этой компоненты не существует. Я очень хорошо отношусь к логике, но с помощью логики нельзя получить (вывести) "нового" знания, можно лишь отбраковать как "плохое" знание, имеющее внутненнее противоречие.

[Atmel]

Резюмирую. Я думаю, что не существует знания, которое можно было бы доказать чисто логическим путем. Любое знание (в том числе, "научное") содержит компоненту, подобную вере, и без этой компоненты не существует.

Если сомневаться в очевидных вещах, то конечно, доказать нельзя. Но это уже, по-моему, какой-то тотальный "агностицизм". Здесь весь вопрос выливается в доверие нашим  органам чувств и опыту, получаемому благодаря им. Если наш опыт дает элементарные знания и показывает определенные закономерности, называемые логикой, то с их помощью мы можем делать более сложные умозаключения. Но я не думаю, что это можно назвать верой. 2*2 - это усложнение цепочки более простых математических операций: (1+1)+(1+1)=2+2, которые всегда и безо всякого исключения дают 4. Где же тут место вере?

К тому же "четыре кружочка" это совсем не то же самое, что число "четыре". Или Вы предложите проверить то же для двух и двух квадратиков, треугольничков равносторонненьких, треугольничков тупоугольненьких, вишенок, яблочек, камешков беленьких, камешков черненьких,...

В данном случае 2 и 2 - абстрактное выражение натуральных вещей, мы переходим от натуральных, реальных  вещей в мир абстракции, которая также существует по принципам логики реального, эмпирического  мира. Впрочем, абстракция идет дальшет - взять хотя бы комплексные  или отрицательные числа. Аналогов им в реальном мире я не знаю. Но правила логики сохраняются и здесь, не так ли?

[math]

Если сомневаться в очевидных вещах, то конечно, доказать нельзя. Но это уже, по-моему, какой-то тотальный "агностицизм".

Мне-то казалось, что сомневаться в очевидных вещах - основной принцип науки. Разве не так? Иначе бы мы до сих пор верили, что Солнце вращается вокруг Земли.

Здесь весь вопрос выливается в доверие нашим  органам чувств и опыту, получаемому благодаря им.

Просто-таки спор 16-17 веков между британским эмпиризмом (Гоббс, Локк, Беркли, Юм) и континентальным рационализмом (Декарт, Лейбниц).

Надо напомнить, что он зашел в тупик.

Если наш опыт дает элементарные знания и показывает определенные закономерности, называемые логикой,

Вы считаете, что правила логики можно получить из опыта?

Но здесь нас подстерегает порочный (логический) круг. Для того, чтобы вывести правила логики из опыта надо уже иметь логические правила вывода закономерностей из опыта. Чтобы увидеть закономерность в опыте, надо уже уметь видеть закономерности, а это логическая операция.

Или по-другому. Как можно доказать, что логика, выведенная из опыта, - «правильная» логика? Вы скажете: надо проверить на опыте, что использование этой логики на практике дает правильный результат. Но это опять порочный круг: такая проверка неизбежно опирается на ту самую логику, правильность которой мы и собирались доказывать.

Нет уж, если логика получена из опыта, то эта логика нам говорит, что проверить правильность (или хотя бы единственность) этой логики у нас принципиально нет возможности.

В такую логику можно только верить.

то с их помощью мы можем делать более сложные умозаключения. Но я не думаю, что это можно назвать верой, как таковой. 2*2 - это усложнене цепочки более простых математических операций: 2+2=(1+1)+(1+1),

Как Вы здесь обосновываете ассоциативный (сочетательный) закон сложения?

И еще: Вам все равно: 2*2 и 2+2? Я понимаю, что и там, и там получается 4, но по одной ли и тоже причине?

которые всегда и безо всякого исключения дают 4.

«Всегда»? Как это Вы проверили?

Где же тут место вере?

Вере место всегда найдется.

Чего Вы так взъелись на веру? Мы же не про веру в Бога говорим, а про веру в логику, математику, науку.

[®)) PI-H ((®]

Ну хорошо, а как Вы себе понимаете не «четыре» чего-нибудь, а просто число «четыре»?

Насколько я знаю, не существует вполне ясного определения, что есть число.

      Чтож давайте по порядку...
      Число - понятие, при помощи которого выражается количество и ведётся счет. Вам это определение кажется в чём-то сомнительным? Можно даже сразу привести определение ещё и количества - это одна из основных логических категорий, характеризующая ту сторону действительности, которая определяет предметы со стороны их измеримости. Ну так какие неясности попрежнему видятся Вам?

Попробую резюмировать... Вы ставите под вопрос арифметические операции и просите их доказать логическими операциями? А потом Вы не попросите доказать логические операции?

Вернемся к началу. Как всегда, спор шел о знании/вере. Далее, как пример знания, безусловно не похожего на веру

Можно добавить, что мы имеем знание, истину в логике. В теориях. Поэтому 2х2=4 в математике - это истина.

Я ответил: Меня всегда интересовало, как с помощью логики можно убедиться в том, что 2х2=4. Вы не можете мне в этом помочь, логически обосновать это равенство?

То есть, я выразил сомнение в том, что утверждение 2х2=4 есть истина, доказываемая с помощью логики. Тут к дискуссии присоединились Вы, и попытались дать соответствующее доказательство с помощью логики. На мой взгляд (простите!) у Вас это не вышло.

Вообще говоря, я не знаю, как доказать, что 2х2=4. Но я в это верю.

      И всётаки... Что Вы хотите чтобы Вам доказали? Сами числа у Вас вызывают вопросы или же только арифметическая операция умножения?

[math]

Чтож давайте по порядку...
      Число - понятие, при помощи которого выражается количество и ведётся счет. Вам это определение кажется в чём-то сомнительным?

Разумеется. Это же вообще не определение. Совершенно непонятно, что такое "понятие" и как можно с помощью понятия (понятия числа, а не с помощью самого числа) вести счет?

А что такое "вести счет"?

Это "определение" могут понять только те, кто уже знает, что такое число. Не находите?

В этой же теме недавно Atmel указал на отрицательные и комплексные числа (я могу припомнить также дуальные числа, кватерионы и т.д.) Вы уверены, что при помощи комплексных чисел выражается количество и ведется счет? Даже для иррациональных чисел - какой смысл можно придать выражению: с помощью иррациональных чисел ведется счет?

Или Вы даете определение натуральным числам? Или каким именно числам Вы даете определение? Определитесь, пожалуйста, а то непонятно, чему именно Вы даете определение? (Интересное определение, для которого надо отдельно уточнять, определение чего было дано!)

(Как я с восторгом прочитал в одной серьезной математической книжке: "Мы сначала объясним, что далее будем говорить, потом скажем это, потом объясним, что мы сказали".)

Можно даже сразу привести определение ещё и количества - это одна из основных логических категорий, характеризующая ту сторону действительности, которая определяет предметы со стороны их измеримости. Ну так какие неясности попрежнему видятся Вам?

Это опять не определение. Одно непонятное слово ("количество") связали с другим не менее понятным словом ("измеримость"). А измеримость - это, наверное, свойство предметов иметь количественное выражение? Так и будем ходить по кругу?

А я еще пытаюсь понять, какой "предмет" (предмет - калька с латинского objectum - брошенное перед кем-н.) характеризуется со стороны своей измеримости числом i (мнимая единица)? Разве что математика - предмет, которому я учился когда-то.

И всётаки... Что Вы хотите чтобы Вам доказали? Сами числа у Вас вызывают вопросы или же только арифметическая операция умножения?

У меня и числа, и арифметические операции вызывают вопросы. С детства.

[math]

Я надеюсь, вопрос, поставленный в названии темы, несколько прояснился?

[®)) PI-H ((®]

Чтож давайте по порядку...
      Число - понятие, при помощи которого выражается количество и ведётся счет. Вам это определение кажется в чём-то сомнительным?

Разумеется. Это же вообще не определение. Совершенно непонятно, что такое "понятие" и как можно с помощью понятия (понятия числа, а не с помощью самого числа) вести счет?

      Мда... нашли за что зацепиться, нет я конечно могу чуть подредактировать и написать число - то при помощи чего... и т.д. и тем самым оставить разбираться с «понятием» самостоятельно, но лучше возьмём другое более полное определение:
      ЧИСЛО, одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности. В связи со счетом предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах: 1, 2, 3,... Задачи измерения длин, площадей и т.п. привели к понятию рационального (дробного) числа. Потребность в точном выражении отношений величин (например, отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел, которые вместе с рациональными числами составляют совокупность действительных чисел. В связи с решением уравнений 1-й степени (линейных уравнений) были введены отрицательные числа, а квадратных уравнений - комплексные числа.
      И давайте не будем о «понятиях», мне бы не хотелось учить Вас тому, что значит «понимать».