Ну а если построить фразу по-другому: "число - абстрактное количественное выражение чего-либо"? Это верно относительно натуральных и дробных чисел, а в отношении других это определение можно расширить.
Здесь явно намечается порочный круг. Число мы определяем через понятие количества, но через что мы определим понятие количества? Скорее всего, это придется сделать через понятие числа.
В математике обычно поступают так. Вводят аксиомы без доказательств, а потом уже, используя эти аксиомы, «опираясь» на них, доказывают теоремы. То же самое с определениями. Указывают на ряд «неопределяемых» понятий (определения которых не дается!), а все остальные понятия определяют через это основные неопределяемые понятия.
Например, в геометрии за неопределяемые понятия можно взять «точку» (Евклид определял точку как «то, что не имеет частей», но это, конечно, не определение, а лишь некий намек), «прямую», «быть расположенным между», «принадлежать» и т.д. (можно посмотреть учебник геометрии 9 класса). Тогда отрезок можно определить как «часть прямой, лежащей между двумя точками этой прямой».
Вы же пытаетесь определить число, не указав, что Вы при этом уже приняли без определения, то есть, на что Вы, давая определение числу, будете опираться. Мне кажется, это невозможно. Если не на что опереться, то ни определить ничего нельзя, ни доказать ничего нельзя. То есть, Вы заведомо будете на что-то опираться, «протаскивая» это «что-то» неявным образом. Логика (начиная с Аристотеля, V век до нашей эры) учит так не делать.
В течение почти 2500 лет (с Эвклида до начала XX века) такое построение (аксиомы --> теоремы, явным образом вводимые неопределяемые понятия --> определения) считалось идеальным, единственно подлинно «научным». В начале ХХ века (в связи с кризисом оснований математики, теоремами Гёделя, в частности) стало ясно, что этот идеал
недостижим: мы
в принципе не можем явным образом сформулировать все аксиомы и все неопределяемые понятия для строгого построения теории, опирающейся на аксиоматику.
Все дело в том, что можно относить к аскиомам. То, что "Солнце вращается вокруг Земли" - не аксиома. А вот то, что "8" больше чем "7" - аксиома. Как это можно доказать, как не из повседневного опыта?
Господи, сколько же у Вас аксиом! 8>7, 8>6, 9>3,.. Бесконечное множество аксиом, принимаемых без доказательства (то есть, на веру, или, как говорите Вы, «из повседневного опыта»).
Или возьмите недавнее обсуждение - параллельные прямые не пересекаются. Это аксиома, правда, я так и не понял, на каком основании "господа неевклиды" взяли за аксиому обратное утверждение?
Объясню, как я сам понимаю. Аксиома о параллельных («пятый постулат Евклида») с самого начала стояла особняком, вызывала у математиков подозрение, скорее не в том, «правильная»она или «не правильная», а в том, нельзя ли ее вывести из других аксиом, то есть рассматривать как теорему. Обычной метод доказательства в математике (и в логике) – «от противного». Предположим, что верно противоположное утверждение (не путать с обратным утверждением) и попытаемся получить противоречие с другими аксиомами. Если получим – докажем исходное утверждение. В течение многих столетий пытались так делать – противоречия с другими аксиомами не получалось.
В начале XIX века несколько математиков (в том числе, наиболее последовательно, Лобачевский) попытались построить геометрию, в которой вместо аксиомы о параллельных в качестве аксиомы принято противоположное утверждение. У них получилось! Это другая геометрия, не евклидова, но геометрия!
Тут же встал вопрос: а какая геометрия «правильная», истинная? Они же разные.
Как решить?
Первый способ. Найти в одной из них внутреннее противоречие. Искали. Не нашли. Более того, удалось доказать (кажется, Риману), что если в одной из этих геометрий когда-либо обнаружится внутреннее противоречие, то оно будет и в другой. То есть, они или обе внутренне противоречивы, или обе внутренне непротиворечивы.
Второй способ. Опереться на эксперимент. Проверить. Мне представляется, что это порочный способ. Геометрия имеет дело с идеальными, абстрактными объектами. Точка, прямая – это объекты идеального (как говорили раньше, «умопостигаемого» мира), именно поэтому к ним применимы логические доказательства. «Реальный» мир, с которым мы встречаемся в ощущениях, лишь подобие этого идеального мира.
Кроме того, чтобы провести такой эксперимент, мы неизбежно должны опираться на те или иные физические (оптические, например) концепции (теории), которые сами опираются на геометрию. То есть, опять получается порочный круг.
Честно признаться, я не знаю, закончилось ли это дело чем-либо. Мне кажется, все повисло в воздухе, и две (разные!) геометрии сосуществуют. Какую из них мы примем, кажется, зависит от того, какую физическую теорию мы примем. А физические теории время от времени меняются.
Да, дело было вечером, далать было нечего. ))))) Но можно ли сомневаться в том, что "8" больше чем "7"? Если мы в этом сомневаемся, пора брать больничный.
Мне кажется, что вопрос не в том, больше восемь семи или нет, а в том, откуда мы это знаем? Как это можно обосновать, кроме Вашего аргумента про больничный? Является ли это вопросом веры, например?
Наверное, начальные положения логики являются врожденными. То, что если A>B, а B>C, то A>C - очевидно и распознается это без научения. Так сказать, нечто родственное гештальтам в гештальт-психологии.
Как интересно! В прошлом постинге Вы придерживались точки зрения эмпиризма, теперь Вы перешли на позиции рационализма. Фантастическая эволюция!
Как Вы здесь обосновываете ассоциативный (сочетательный) закон сложения?
Очень просто. Наглядно. )) PI-H (( Вам уже раскладывал счетные палочки. 
))
Как же просто выглядит математика, когда ею не занимаешься!
