При рассмотрении искривлённых пространств в различных координатах возникает всегда желание спросить: "а как на самом деле?" Здесь, как и во многих других случаях никакого "самого дела" нет. Как устроено это четырёхмерное многообразие сложно понять исходя из метрического тензора, который представляет собой решение уравнения. Не смотря на то, что он, действительно, полностью определяет конфигурацию многообразия (при отсутствии кручения). Из искривлённых нормальный человек может лишь представить двухмерное многообразие, погружённое в наше трёхмерное пространство, т.е лишь отдельные сечения четырёхмерного многообразия. Да и то с оговорками - ось времени ведёт себя не так, как пространственная.
Но это всё лирика. Для того, чтобы описывать события, необходимо каждую точку пространства времени описать числами. В нашем случае требуется три числа для пространственных координат и одно для времени. Единственное требование - это чтобы точки описывались однозначно, т.е. каждой четвёрке чисел соответствовала только одна точка пространства-времени, не больше. В остальном - полная свобода. Система координат может быть любой. В некоторых системах, правда, законы физики записываются проще, например в декартовых с.к. Но в искривлённом пространстве такую систему ввести невозможно. Но тем не менее некоторые с.к. более удобны, чем другие. Например система отсчёта, связанная с движущимся объектом. Именно в такой системе я описывал путешествие к чёрной дыре. И пытался соотнести её с метрикой Шварцшильда, которая записывается тоже в хорошей с.к. Это система, где время - это собственное время бесконечно удалённого наблюдателя, и вообще эта система становится почти декартовой на бесконечном удалении от центральной массы.
Для вычислений часто применяются изотропные координаты. (Изотропная геодезическая представляет собой мировую линию, по которой движется луч света). В случае сферически симметричного поля пространство-время можно представить как декартово произведение двумерной сферы и двумерного многообразия с одной временной и одной пространственной (радиус) координатой. Но его также можно представить и изотропнами координатами u, v. Так, что линии u=const, v=const представляют собой мировые линии лучей света идущих в противоположных направлениях (к и от центра). На графике координаты u, v рисуют обычно по диагонали, т.к. в декартовых координатах движение света тоже будет нарисовано по диагонали. (Пока не будем рассматривать кривизну, только проекцию на плоскость.) Для решения задачи о сферически симметричном поле вокруг массы М только для двух квадрантов (правого и левого) (это пространства-двойники, есть гипотеза, что они соединяются через так называемые кротовые норы) можно ввести осмысленные координаты времени и расстояния. На мой взгляд, разным событиям на оси времени должен соответствовать времениподобный интервал, разнам событиям на оси расстояния - пространственноподобный интервал. Это, кажется, естественное требование. Кроме того, если мы ищем статическое решение, значит в нем не должно быть зависимости от времени. А от расстояния должна быть зависимость, например площадь сферы (о которой я упомянул в самом начале) может равняться 4 пи на r в квадрате; тогда r - это яркостное расстояние. Для одного сектора такие координаты можно ввести.
Для решения Шварцшильда это:
uv = (1-r/2M) exp(r/2M) и
v/u = exp(t/2M). M это масса.
Как видите t имеет смысл только когда v/u положительно. А значит (1-r/2M)>0. Т.е. применимость таких координат только с наружной части ЧД (r>2M). Линии r=const будут представлять из себя параболы в этой изотропной СК. Линии t=const - прямые , проходящие через центр. Во внутренней же части ЧД невозможно ввести координаты, которым бы приписать свойства времени и пространства. Невозможно удовлетворить одновременно двум требованиям, о которых я писал выше. Поэтому внутреннему многообразию я даже не стал бы давать название "пространство-время". Там ведь (верхний и нижний квадранты), параболы будут одновременно определять прощадь сферы, а также давать времениподобный интервал.
В таком представлении ( в изотропных координатах) вскрывается ещё одна интересность, которой не видно в обычных пространственно временных координатах из-за нулей или бесконечностей в метрике. Центр координат u=0 v=0 легко заметить соответствует радиусу r=2M и любому времени. Т.е. точки с казалось бы разным временем представляют на самом деле одну и ту же точку. Другими словами на сфере Шварцшильна времени вообще нет. (Это похоже на то, как на полюсе все меридианы сливаются.) А вот сами оси u и v соответствуют тому же r=2M и плюс или минус бесконечному времени. Причём все точки на осях - это бесконечности разные, и представляют собой моменты времени когда тот или иной объект пересекает сферу Шварцшильда. Такая вот фигня.
