Да нет, не копайте так глубоко. Речь идёт об учебниках. Там сразу становится ясно, что в обычной координатной записи в.ф. представляет собой суперпозицию дельта-функций, т.е. состояний с определённой координатой. Если перейти в импульсное пространство, то в.ф. будет задаваться суперпозицией гармонических составляющих - состояний с определённым импульсом. (О спине в квантовой механике говорится вскользь, но в квантовой теории поля постоянно рассматриваются суперпозиции разных спинов.) Но как только начинаются решать задачки об электроне в атоме водорода, об электроне в потенциальной яме, суперпозиции куда-то исчезают. Исчезают напроч. Так, что у людей возникает сомнение, а возможны ли вообще они?
Поэтому вопрос, точней ряд вопросов.
- Может ли электрон в потенциальной яме иметь состояние (которое я обозначу имея в виду уровни энергии) 0.5*!1/2> + 0.5*!3/2> + 0.5*!5/2> + 0.5*!7/2> ?
Если да, то правильно ли будет сказать:
- что энергия электрона не определённая ?
- что средняя энергия = 2 ?
- что неопределённость энергии, это то же самое, что дисперсия энергии, и она равна корню из одного с четвертью ?
- что в результате измерения мы получим одно из четырёх упомянутых значений, но никогда не получим 2, и это означает, что полуцелое количество энергии перейдёт от электрона измерителю (или наоборот) ?
Эт чего-то новенькое.
Ну, давайте разбираться.
1.
Предположим, что электрончик у нас в ямке живет.
Тогда, как известно, его энергия будет пропорциональна
квадрату номера уровня.
Спрашиваем, возможно ли состояние:
|a>=0.5|1>+0.5|2>+0.5|3>+0.5|4>
А, почему бы и нет. Нам, ведь, никто это не запрещает.
Какая же у электрончика будет энергия?
Если на дне ямы (состояние |1>) мы примем энергию за единицу, тогда:
E(n)=1, 4, 9, 16
Среднюю энергию считаем по правилу:
<E>=<a|E|а>
(вообще говоря, оператор энергии принято обозначать H-гамильтониан)
значит <E>=<a|H|a>
Далее
Н|n>=E(n)|n>
Т.е.
H|1>=1|1>, H|2>=4|2>, H|3>=9|3>...
После подстановки в среднюю энергию получаем:
<H>=0,25(1+4+9+16)=7,5
(здесь учтено, что <n|n>=1, а <n|k>=0 при n не равном k. Это условие нормировки)
Что же мы увидим в опыте??
"неопределенную энергию"? как Вы говорите.
Да нет же конечно.
Энергия всегда определена точно!!!
Это надо запомнить как дважды два.
(Принцип неопределенности для энергии имеет совсем другой смысл!)
Итак. Если мы возмем много электрончиков в одинаковых ямках,
приготовленных в одинаковых состояниях |a>.
При измерении их энергии в каждом четвертом случае мы получим:
1, 4, 9, 16
Дисперсия, как квадрат отклонения от среднего:
42.25, 12,25, 2,25, 72,25
Сумма деленная на 4: 32,25
Корень можете посчитать сами.
Да, в результате измерения мы получаем одно из 4 значений:
1, 4, 9, 16
Мы получим значение 7,5 если наш прибор будет мерять всю энергию у всех
электрончиков во всех ямах и делить их на количество.
Но! Все это не имеет никакого отношения к эксперименту!
Об эксперименте см. пункт 3.
2.
Энергия электрончика в атоме будет квантоваться немного иначе.
Принимают, что
E(n)=-1/(2n^2)
Т.е. самый низший уровень энергии -1/2, самый высший 0 ( это там,
где электрончик становится свободным, а спектр его энергии --- непрерывным)
Зависит ли его энергия от спина?
Да зависит.
Но эта зависимость не очень проста.
Электрончик, ведь, вертится вокруг атома :-)
А значит обладает неким орбитальным механическим моментом.
Но он имеет и электрический заряд.
А значит обладает и магнитным моментом.
Они понятное дело квантуются.
А магнитный после этого еще и со спином складывается.
И вот от всего этого зоопарка квановых чисел будет зависеть
энергия электрончика.
(ну за исключением атома водорода. там все проще и сложнее одновременно)
(хотя и для других атомов веселья хватает)
А называется все это (зависимость от спина) --- тонкая структура уровней энергии.
3.
А теперь внимательный читатель должен спросить: а где ж амплитуды-то складываются?
У Вас, ведь, сложение одних вероятностей?
(давайте вернемся к п.1)
Итак. Что же означает, что мы получили значение энергии электрончиков
1, 4, 9, 16
с вероятностью 1/4
А это означает, что мы
приготовили сосотяние |a>.
И ничего больше это не означает!!!
Вот, что говорит об этом, например, Липкин
http://philosophy.mipt.ru/publications/ ... ubl03.htmlИзмерение в квантовой механике, как и в других разделах физики, проявляет, а не создает существующее состояние. Оно ничего не говорит о том, что будет с системой или ее состоянием после измерения (это прерогатива процедур приготовления, использующих фильтры и другие приборы).
А что же мерять мы будем?
А еще лучше спросить: "когда и как" мы это будем делать?
Допустим, что мы решили померять энергию за 1 времени.
Пускай так же в первом случае мы получили значение прибора 5,
а теперь, при измерении, значение прибора равно 9.
(числа взяты с потолка и не имеют никакого зачения. важна только разность)
Тогда, известно, что
|E1+e1-E2-e2|*t=|7,5+5-E2-9|*1
Должно быть порядка 1.
Это и есть
неопределенность для энергии.
Приравнивая к единице находим E2.
Например E2=2,5
Что же это означает?
А, например, то, что электрончики наши находятся в состоянии
|b>=q|1>+q|2>+0|3>+0|4>
где q=1/корень(2)=2^(-1/2)
А какова же, черт побери, вероятность получить состояние |b>,
если в начале эксперимента было состояние |a>
?
|<b|a>|^2=
=(0.5*q+0.5*q+0,5*0+0.5*0)^2=1/2
Вот она где порылась-та наша сумма амплитуд!
А мы-то грешным делом думали, что все куда проще...
Итак, вероятность перехода из |a> в |b> из-за того, что мы
меряем энергию аж 50%.
А дисперсия? Ну, думаю сами посчитаете :-)
-а можно, чтоб энергия не менялась?
-низя! время должно быть бесконечно большим.
-а можно, чтоб состояние не менялось?
-низя! святым духом пока мерять не научились.
(если только Менский не подскажет как)
-а можно?
-а вот это попробуйте...
Надеюсь, экспериментаторы меня простят за фривольнось изложения.
И по-возможности дополнят... или исправят :-)
Итак. Сухой остаток.
Кв.механика работает по большей части с
большим количествомквантовых систем.
Наипростейшие формулы в учебниках относятся именно к таким случаям.
Применять их к единичным объектам на начальной стадии изучения
кв.механики по-крайней мере неразумно.
Нужно отложить до хороших времен Менского, Пенроуза и т.п.
И открыть учебники...
Ну и по секрету всему свету. Для единичных объектов
важны корреляции и флуктуации, но никак не вероятности и средние.
И в этом
принципиальное отличие кв.механики от классической.
И еще...состояние кв.системы записывается, как |..>, но это не означает
произвола внутри скобок (bra-ket'ов).
Так что если берутся спиновые состояния, то это что-то обычно означает.
Ну, и на закуску. Продолжение цитаты Липкина (об измерении):
И, как и в классической физике, не надо сюда примешивать ни сознание, ни многомировые интерпретации, ни довольно мутное (когда оно используется в расширительном смысле) понятие информации (в физике этого понятия вводить не надо).
