Василий.
Конечно, хватит кому-то объяснять очевидные вещи.
Итак, KWAKS и кто там ещё чего не понимает...
Существует природа. В ней есть некоторые закономерности. Человек может наблюдать их и, грубо говоря, записывать.
Существует, кроме того, математика. Человек ПРИДУМАЛ некоторую логику, ПРИДУМАЛ набор аксиом и из последних в своей логике вывел следствия.
Аксиомы (как логики, так и не логики) по определению есть утверждения, которые человеку КАЖУТСЯ очевидно верными. Он их, может, брал не с потолка, но всё равно в меру своего мышления и миропонимания.
Следовательно, в меру своего мышления, сами аксиомы и некоторые из их следствий, действительно, не противоречат наблюдаемой реальности.
Это, так сказать, в плюс выбранным аксиомам.
Однако, очевидно, не всё, что можно ПРИДУМАТЬ, должно существовать в реальности.
Есть, так называемая, "математика бесконечного". Она вообще чисто игнорирует физические законы.
Но даже в "математике конечного" все следствия аксиом НЕ ОБЯЗАНЫ как-то соответствовать действительности и иметь "аналог" в природе.
Они нужны, скажем так, для удобства.
Вот Ваш пример, аксиома выбора и парадокс Банаха-Тарского.
Сама аксиома выбора КАЖЕТСЯ (или казалась авторам) очевидной. Действительно, если речь идёт о конечном количестве конечных множеств, сомневаться в ней не приходится.
Но, во-первых, и тут уже можно НАПРИДУМЫВАТЬ всякие "фокусы". А, во-вторых, когда мы уходим в "математику бесконечного" начинается вообще "мистика".
Собственно, например, парадокс Банаха-Тарского.
Да, он выводится из аксиомы выбора.
Но без аксиомы выбора (если её убрать из математики, то есть считать неверной) многие ДРУГИЕ теоремы окажутся на данный момент недоказанными.
Это, наверное, можно поставить в некоторый минус аксимома. Хотя я лично не вижу ничего плохого в некоторой неочевидности математики. Одни теоремы Гёделя чего стоят. Знаете, сколько математиков "потеряли почву под ногами", когда узнали, что там Гёдель "наколдовал". Это в высшей степени было неочевидно.
Итак, математика совершенно НЕ ОБЯЗАНА быть полностью представима в реальном мире. Более того, она не может быть в нём полностью представима.
Не надо путать эмпирические закономерности с "выведенными только умом" теоремами.
Математика ПРИДУМАНА. Просто она "хорошо" придумана, под стать реальности. Но она "не идеальна", то есть не абсолютно вся под стать реальности.
Конечно, я говорю о "наглядном аналоге". А так, вообще...
Любой, самый "бредовый" математический результат может стать основой какой-нибудь новой физической теоретической модели. Это, всегда пожалуйста.
Вот только "представить" суперструны не намного легче, чем квадратуру круга Тарского.
