Теорема Банаха–Тарского.
Вы хоть понимаете, как доказывается эта теорема и что она значит? :lol:
Трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число частей, передвинуть их и составить из них второе. При равносоставленности объемы не складываются. Представьте себе разбиение сферы на два множества точек с рациональными координатами по оси абсцисс и множество точек с иррациональными координатами по оси абсцисс. Оба имеют одинаковый объем, равный объему сферы, хотя это два совершенно разных (хоть и равномощных) множества.
Для физика вообще не может быть проблем с демонстрацией этой теоремы, потому что вещество всегда состоит из конечного числа атомов. Например, внутреннее давление или смена агрегатных состояний вещества - это просто передвижение конечного числа атомов.
Математикам приходится морочиться со сложными системами точек, чтобы не пропала ни одна, а физику достаточно взять два воздушных шарика с резиной потоньше и один воздушный шарик с резиной потолще и наполнить как первый, так и два других одинаковым количеством газа. Вот и все.
Пример с пеной иллюстрирует этот подход очень грубо, но верно. Подход в том, что полости не имеют значения. Они все равно были, хотя мы ими пренебрегали, а при вспенивании мы просто меняем внутреннюю структуру, полости увеличиваются, при том, что мы упрямо продолжаем их игнорировать, вот и все. В этом идея.
Я Вам больше скажу: математик не может повторить этот фокус в одномерном пространстве вещественных чисел с отрезком (вот если бы речь шла не о конечном числе движений, а о любом - тогда запросто, это была бы простая равномощность), а физик - может. Берем резинку, разрезаем пополам и растягиваем обрезки так, чтобы в сумме они составляли первоначальную длину резинки :lol:
А вот пример, имеющий практическую ценность: световые табло. Там сгруппированы в ячейках светодиоды разных цветов. Если смотреть издалека, ячейка видится одним целым, но при этом можно за счет разных групп светодиодов высветить одинаково выглядящие издалека фигуры разного цвета. Я не исключаю, что на создание такой техники инженеров в свое время вдохновила идея теоремы Банаха-Тарского.
Кстати, подходы, подобные тем, что в этой теореме, используются в некоторых алгоритмах сжимания изображений.
Пожалуйста: функция Дирихле - это индикатор того, можно ли физически записать число на листке (листках) бумаги в десятичной системе счисления или в виде дроби.
Нет, вы точно дислексией страдаете – я спрашивал какому РЕАЛЬНОМУ объекту (процессу) соответствует эта функция? То, что она для вас чего-то-там индикатор – это ваши личные подробности.
Реальный объект - человек, пишущий ручкой на листках бумаги числа.
