Я не понял, с какого бодуна решили, что общеотрицательное утверждение недоказуемо?
Простой контрпримерчик: в евклидовом пространстве не существует точек пересечения двух окружностей с общим центром и разными радиусами. Доказывается элементарно.
Уважаемый Алекс, Вы подняли очень важный для понимания существа логики вопрос. Постараюсь объяснить в чём тут дело. Если я затрону не все моменты необходимые для понимания, уточните, пожалуйста, в последующих комментариях, что не затронуто, думаю многим это будет интересно.
Законы формальной логики определяют, как надо мыслить для получения правильных результатов, они не касаются физического смысла того о чём мы мыслим.
Законы логики не доказывают существование Бога или точки пересечения окружностей, они, лишь, указывают нам путь, как надо доказывать это.
Законы логики говорят, что нельзя доказывать истинность общего суждения
непосредственно. Если бы мы взялись делать это, то наши старания, заранее, были бы обречены на провал. Это следует из того очевидного факта, что мы должны были бы перебрать бесконечное число сущностей соответствующее субъектам суждения и сравнить их с предикатом. Что не возможно в силу бесконечного числа этих сущностей.
Однако, законы логики показывают,
как нужно доказывать истинность общих суждений.
В конечном итоге, получается всего несколько вариантов, в которых мы всегда доказываем истинность или ложность частных суждений и распространяем, согласно законов логики, доказательство на соответствующие общие суждения.
В нашем случае, общеотрицательного суждения таких путей всего четыре:
- Доказав истинность соответствуещего частноутвердительного суждения, мы автоматически установим ложность нашего общеотрицательного суждения.
- Доказав ложность соответствуещего частноутвердительного суждения, мы автоматически установим истинность нашего общеотрицательного суждения.
- Доказав ложность соответствующего частноотрицательного суждения, мы автоматически установим, что наше общеотрицательное суждение ложно.
- Доказав истинность соответствующего частноотрицательного суждения, мы можем установить, что наше общеотрицательное суждение истинно используя индукцию, в том случае, если в предметной области, которой касается суждение, допустима индукция.
Как видите, все допустимые способы доказывания общеотрицательного суждения восходят от доказывания
частного к общему.
При этом мы, естественно, должны уметь выделять в суждениях его составные части -- субъект, предикат, связку, -- и формулировать для этих частей соответствующие обще(частно)-положительные(отрицательные) суждения. Также во всех преобразованиях мы должны следовать законам формальной логики, в том числе, законам логического мышления. Законы логики определяют так же, как правильно делать умозаключения и сводить суждения к очевидным, то есть предъявлять доказательства.
Все эти законы не обязательны так, как физические законы природы, мы можем им не следовать. Что часто и происходит приводя к недоразумениям и ошибкам. Однако, логика говорит, что в этом случае мы получим неверные результаты наших размышлений.
В Вашем примере, если Вы проанализируете само доказательство, то Вы увидите, что оно идёт от доказательства противного или противоположного и, возможно, использует допустимую в геометрии индукцию.
