Правило арифметики, запрещающее извлекать квадратный корень из отрицательных чисел, тоже установлено не произвольно.
…
А вот в логике без приставки "формальная" рассматриваются правила мышления о реальном мире, а не только мире искусственных правил и ограничений. И там такие нарушения - вещь общепринятая. Аналогия - в арифметике нельзя извлекать квадратный корень из минус единицы. Но это не значит, что этого нельзя делать в алгебре комплексных чисел.
Как вас понимать? То вы противопоставляете логику формальную и неформальную, говоря, что правила и ограничения в логике формальной установлены искусственно (в отличии от неформальной). То когда вам говорят, что правила логики (формальной) это не совсем искусственно установленные правила, вы говорите, не понятно для чего, что правила арифметики тоже не совсем искуственные (произвольные), что в итоге вы хотите сказать? Чему вы оппонируете, и что утверждаете?
Можно либо мыслить логически либо не мыслить вообще (в понятиях). Причина тому тривиальна: из противоречия вытекает любое суждение.
Это так в бинарной формальной логике, потому, что эта формальная логика просто не умеет обращаться с противоречиями.
Это не в формальной логике, а это в самом нашем мышлении. Не логика не умеет обращаться с противоречиями, а мыслить по другому просто невозможно. Либо вы понимаете о чем вы говорите, либо не понимаете. Если у вас есть верные понятия, то никак по-другому вы мыслить не сможете, кроме как мыслить логически. А вот если у вас все невнятное, мутное, темное – то конечно, вы сможете говорить о чем угодно, нисколько не понимая, что вообще проделываете…