- Математика бессильна: по аналогии выше, «пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?» Нет ответа. ...
Копипастить то мы научились (гляди какой задорный
), осталось научиться дочитывать Википедию до конца (ну хотя бы статьи)
... читаем далее там же:
Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении внутренне противоречивого понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этого парадокса было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации mathcal M, по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.
Действительно, допустим, что множество U всех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения, должно существовать и множество K, элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множества K приводит к парадоксу Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теории mathcal M, утверждение о существовании множества U невыводимо в этой теории, что и требовалось доказать.
В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций (теория Цермело — Френкеля ZF, теория Неймана — Бернайса — Гёделя NBG и т. д.), однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, разработав ряд теорем о неполноте, такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).
Правда боюсь что по своей православной привычке - "здесь играем, здесь не играем... а здесь вообще рыбу заворачивали"!
