Eleanor #242
Я о противоречиях ЕГ и НГ говорила изначально…
Вы говорили, не подумав хорошенько.
В евклидовой геометрии нет противоречий (она внутренне непротиворечива), это строго доказано.
То же самое относится и к неевклидовой геометрии (она тоже внутренне непротиворечива).
Что касается «противоречий» между ЕГ и НГ, то их тоже нет, т.к. они относятся к разным пространствам (геометрия Евклида – плоскость, геометрия Лобачевского – поверхность с постоянной отрицательной кривизной).
Нужно объяснять, что такое положительная и отрицательная кривизна?
К какому опыту? Вы, словно, маленький.
Это Вы как маленькая.
Непротиворечивость арифметики не доказана, и с помощью логических построений доказать ее невозможно.
Откуда же берется уверенность, что наши арифметические вычисления всегда будут давать правильный результат, т.е. что мы при следующем вычислении не столкнемся с противоречием?
Такую уверенность дает тот факт, что человечество на протяжении своей четырехтысячелетней писаной истории ни разу не столкнулось с противоречием в арифметике.
Основание, конечно, несколько шаткое по сравнению со строгим доказательством, но ничего лучшего нет.
В конце концов физика всегда апеллирует к опыту.
Лобачевский, столкнувшись с противоречиями ЕГ на изогнутой плоскости, вывел свою НГ, причем отменив два постулата Евклида.
В этой фразе у Вас четыре ошибки.
1) Лобачевский ничего не знал о геометриях на кривых поверхностях (за исключением геометрии на шаре), эта интерпретация была придумана позднее.
2) Что такое «изогнутая плоскость»? Это круглый квадрат. Плоскость не может быть изогнутой, изогнутой может быть поверхность. А если плоскость изгибать, не растягивая и не сжимая, то ее кривизна останется равной нулю, и на ней будет по-прежнему выполняться геометрия Евклида.
3) Лобачевский не сталкивался с противоречиями НГ. Еще раз: она внутренне непротиворечива. Более того: именно благодаря непротиворечивости (а лучше использовать более широкое понятие – благодаря независимости) аксиом ЕГ и стала возможна НГ.
Следите за красотой мысли:
Если система аксиом независима, то можно любую аксиому заменить на противоположное ей утверждение; результатом будет новая непротиворечивая система аксиом (т.е. новая геометрия). Действительно: если мы в результате придем к противоречию, то исходная аксиома будет, таким образом, доказана (методом от противного), что противоречит ее независимости.
Когда я учился в 10 классе, я из спортивного интереса заменил аксиому «через 2 точки можно провести одну и только одну прямую» утверждением «через 2 точки можно провести две и только две прямые» и вывел из этого около 30 теорем "новой геометрии".
4) Лобачевский отменил не две, а ОДНУ аксиому Евклида – аксиому параллельности.
А противоречия как раз и были связаны с тем, что параллельные прямые, являющиеся ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ, согласно … критериям параллельности ЕГ и на плоскости точно не пересекаются,.. а на изогнутой плоскости … могут ПЕРЕСЕКАТЬСЯ !!! Вы и с этим будете спорить?
Буду!
Ибо у вас жуткая каша в голове.
В планиметрии Евклида два перпендикуляра к одной прямой не имеют общих точек; такие прямые называются там параллельными. Поэтому наличие общего перпендикуляра в планиметрии Евклида можно рассматривать как "критерий" параллельности.
Под изогнутой плоскостью поверхностью вы, видимо, имеете в виду сферу. На ней параллельные прямые вообще не существуют. Два перпендикуляра к одной прямой (например, два меридиана и экватор) пересекаются (на полюсах). Поэтому наличие общего перпендикуляра критерием параллельности здесь просто не является.
И никаких противоречий!
#244: Я и говорила, что не НЕПРЕМЕННО пресекаются, а МОГУТ пересекаться.
К сожалению, это тоже неверно. В геометрии на шаре все прямые непременно пересекаются.
#246: В НГ доказать их параллельность невозможно, т.к. отменен постулат о бесконечности…
Еще раз: не существует никакого «постулата о бесконечности». Полный перечень аксиом см. #239
Лобачевский понял, что в искривленном пространстве параллельные прямые могут пересекаться, поэтому их и переименовал.
Здесь все неверно – от начала и до конца.
1) Во времена Лобачевского искривленные(трехмерные) пространства были неизвестны, их придумали после Лобачевского.
2) В геометрии Лобачевского параллельные не имеют общих точек (т.е. не пересекаются и не могут пересекаться).
3) Он их переименовал не поэтому. Почему – я писал раньше.
Часто приходится слышать: «Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются в бесконечности».
От таких перлов хочется заорать не своим матом. Это значит, что автор не имеет ни малейшего представления ни о геометрии Евклида, ни о том, что сделал Лобачевский, ни о математике вообще (даже школьной). Слышал чего-то краем уха, а теперь считает возможным об этом рассуждать. Не дав себе труда хоть немножко разобраться в сути.
