.. чегО ... формальная логика - не может адекватно описывать . . ЛЮБОЙ ОБЪЕКТ - реальности ?
Как действительный так и вымышленный (мерещащийся) ? ? ?
Да. Правда мне нужно чтобы вы уточнили, что значит "описать", ...
\
ПОСТА-ВИТЬ ВО взаимно-однозначное СО-ОТВЕТ-СТВИЕ :
некоторую формулу - любому наугад выбранному объекту Реальности !
Хотелось бы конечо большего... например, чтобы вы уточнили, что вы понимаете под "формулой", но надеюсь, что вы понимаете тоже самое, что понимают и логики с математиками.
Хорошо, попробуем разобраться:
Я начну с интуитивно для всех понятной вещи – компьютерного языка. Компьютерный язык, как все догадываются, предназначен для того, чтобы писать программы. Программы, это вещи интересные,
и интересны они прежде всего тем, что для их составления, мы не можем тупо стучать по клавиатуре куда попало. Если, например, мы стучим куда попало, а пишем программы на языке Pascal, то после того как мы нажимаем клавишу «alt+F9» мы обнаруживаем, что компилятор нам сообщает какую-нибудь неприятную вещь, например «syntaxes error». То есть, как это было понятно с самого начала, наш набор символов, представляет собой синтаксически некорректные строчки. Вот для любой формальной системы, существует такой компилятор, он называется «разрешающий алгоритм», и реализует ту функцию, чтобы проверять некоторые строчки на корректность. Его можно уподобить некому стражу, который стоит у границы, и проверяет у всех документы, например номера паспортов. Если он обнаруживает, что какой-то номер имеется в его базе данных, то он пропускает его внутрь страны. Если нет, то даёт «от ворот поворот». Если нам случайно повезет, и мы наберём какую-нибудь последовательность символов, которую компилятор распознает как верную, то тогда, мы можем нажать клавишу «F9» и ждать, когда из исходного кода у нас получится готовая программа имеющая расширение «exe» и способная выполнить некоторый алгоритм.(например делит одно число на другое) Здесь важно понять две вещи:
1. любой алгоритм, есть ничто иное как последовательность символов, составленная по определённым правилам. Точнее: между всеми синтаксически корректными строчками языка, и готовыми программами способными выполняться на машине и реализовывать некоторый алгоритм, имеется соответствие.
(в общем случае не взаимооднозначное)
2. Некоторые алгоритмы, умеют что-нибудь делать полезное (например делить числа).
Но числа бывают разными, например, может оказаться так, что в качестве делимого, кто-нибудь, когда вы отвернётесь, в качестве делителя введёт в программу нуль. И тогда ваша программа аварийно завершится. Вот здесь, важно понять, что каждый алгоритм имеет свою область применимости. Так наш алгоритм, реализующий деление двух чисел, применим ко всем числам кроме нуля. И каждый алгоритм, даёт на выходе некоторый результат, наш алгоритм даёт результат деления одного числа на другое.
В дальнейшем, мы будем говорить только о таких алгоритмах. Никаких алгоритмов типа «нарисовать картинку» или «скопировать файл» мы речи вести не будем. Кроме того, мы ограничимся только такими алгоритмами, область применимости которых есть натуральные числа (а не матрицы, или эллиптические кривые) и область значения которых есть также натуральные числа. Уже в этом случае, мы столкнёмся с непреодолимыми трудностями. Для простоты понимания, мы воспользуемся синтаксисом языка Pascal. В нём, описанные нами алгоритмы называются функциями ( такая терминология имеется не только в этом языке). Так, в языке Pascal, упомянутая нами функция деления двух чисел могла бы быть записана так:
Function Delenie_Chisel(x:integer; y:integer):integer;
Begin
Delenie_Chisel:=trunc(x/y);
End;
Здесь «Delenie_Chisel» - название функции. Сразу за названием идёт открывающаяся скобка, в ней, перечислены два параметра – x и y (значит функция от двух переменных) относительно каждого из них указанно, что они могут быть только целыми числами (область применимости нашего алгоритма, есть целые числа) после закрывающейся скобки идёт опять слово «integer», что указывает нам область значения этого алгоритма – целые числа. После слова «begin» и до слова «end» располагается собственно наш алгоритм (вообще то, он называется правильно кодом), который состоит из одной строчки «Delenie_Chisel:=trunc(x/y);»
Но как мы знаем наша функция работает неправильно. (нам нужно было бы предусмотреть ситуацию когда делитель равен нулю, иначе кто-нибудь опять введёт неправильное значение, и программа аварийно завершится). Однако нас, это не волнует. Вот теперь, мы переходим к главному: мы только что написали т.е. представили на некотором формальном языке программу (функцию), которая позволяет реализовать нам, одну из простейших арифметических функций – функция доставляющую нам целую часть, от деления двух целых чисел Z=[x/y]. Понятно, что можно представить не только деление двух чисел, но и сложение Z=x+y; умножения z=xy и т.д. Если некоторая арифметическая функция может быть запрограммирована на каком-нибудь языке, то такую функцию называют вычислимой. А про алгоритм говорят, что он вычисляет нам эту функцию. Возникает вопрос: а всякую ли арифметическую функцию мы можем запрограммировать на некотором языке? Быть может, не существует такой последовательности символов какого-нибудь конкретного языка, расположенных в соответствии с синтаксисом языка так, что они предоставляют нам алгоритм реализующий эту функцию? И если такие функции есть, то сколько их? Может пора забросить детский язык Pascal и перейти на другой? Который обладаёт более высокой выразительной мощью?Который уже позволит записать т.е. представить в нашем языке хотя бы все функции арифметики? (да, на всякий случай я напомню, что функция – есть множество особого рода – подмножество декартового произведения для которого выполняется то условие, что каждому элементу из dom (f) ставится в соответствие только один элемент из Im (F))
Вот переходим к этим вопросам:
Покажем, что не может существовать языка на котором можно выписать (запрограммировать, представить) все арифметические функции. Пусть такой язык существует, обозначим его за P. Всякая функция реализуемая в этой языке, будет представлять из себя некоторую последовательность символов выстроенных по определённым синтаксическим правилам действующим в этом языке (правила могут быть какие угодно). Здесь ограничимся рассмотрением функций содержащей лишь одну переменную. Уже в таком простейшем случае возникают непреодолимые трудности.
Покажем, что язык P "достаточно беден" то есть средства не позволяют
запрограммировать любую арифметическую функцию действующую из области натуральных чисел в неё же. Оставляя вне рассмотрения конкретный синтаксис
языка, будем пользоваться просто условными схемами записи функций. Так например
функцию y=2x+1 (уравнение прямой) будем считать записанной ввиде:
function pramaya(x:integer):integer;
Begin
Result:=2*x+1;
end;
Замечание: количество параметров функции в общем случае не важно, поскольку всегда можно заменить эти параметры одним. Например, если дана функция трёх переменных:
function pr(x,y,z:integer):integer;
Begin
Result:=x^2+y-5*z;
end;
То от неё можно построить сопряженную функцию от одной переменной -"pr_*" действующую по правилу:
pr_*(x)=pr(x,x,x);
Итак, мы исходим из того, что наш язык P -богат настолько, что позволяет запрограммировать любую арифметическую функцию от одной переменной. Заметим, что все наши функции можно занумеровать. То есть любая функция представляет ничто иное как набор символов (то что идёт после begin до end) - слово в некотором алфавите нашего языка. А слова, можно естественно занумеровать( разбить на группы имеющие одинаковую длину, и сами элементы группы занумеровать в алфавитном порядке ( для пробела можно ввести
особый знак, к примеру "@"). Итак, каждая функция у нас получает конкретный уникальный номер:
func_1 ~ 1
func_2 ~ 2
...
Func_D ~ D
Рассмотрим функцию: H(x,y) она действует из N*N в N по следующему правилу:
function H(x,y:integer):integer;
Begin
Result:=func_x(y);
end;
То есть, мы берём функцию за номером "x" из нашего списка функций - и подставляем в неё значение "y". Таким образом, каждая вычислимая в нашем языке функция имеющая номер "k" тождественно совпадает с функцией H(k,x). То есть H(k,x)=funcn_k(x). Введенная нами функция H(x,y) - очевидно является арифметической и хорошо определённой. Теперь введём в рассмотрение ещё одну функцию: G(x)=H(x,x)+1; эта функция одной
переменной также арифметическая и также хорошо определена. Но эта функция не может быть запрограммирована на нашем языке! Действительно, ведь если она может быть запрограммирована, то следовательно она имеет некоторый номер, например "n". Это означает, что H(n,x)=G(x) для любого x. Подставим
вместо х значение n. Получим: H(n,n)=G(n). Но G(n)=H(n,n)+1, следовательно H(n,n)=H(n,n)+1.
Но последнее не имеет места ни для одного натурального числа, поскольку ни одно натуральное число не равно следующему за ним. (кого интересует может посмотреть аксиомы Пеано).
Это был первый пункт нашей программы, исходя из того, что нас совершенно не интересовал синтаксис языка, а мы сумели предъявить пример функции которая на нём не может быть представлена т.е. формализована средствами языка. Уже кое- какие выводы можно сделать… Но мы пойдём последовательно:
Займёмся излюбленным тезисом дилетантов, что мол «это только вот в этом нельзя, но в другом можно формализовать…».
Рассмотрим вновь функцию G(x)=H(x,x)+1. Разумеется, как легко понять, противоречие имеется не только в том случае, когда мы к H(x,x) прибавляем 1. Мы могли бы прибавить любое натуральное число k, и эффект был бы тот же. Это говорит о том, что функций которые нельзя записать на нашем языке бесконечно. Но всё-таки остаётся надежда на то, что поскольку функции линейные относительно второго слагаемого ситуация может быть исправлена. Однако следующее рассуждение, полностью хоронит всякую надежду( и так и есть на самом деле, это не просто я тут придумываю): рассмотрим первое слагаемое H(x,x), и вспомним как мы определяли эту функцию. Мы согласились, что первое слагаемое есть номер функции из некоторого нашего списка, а выбирали мы его значения последовательно. Но ведь, мы могли бы расположить эти функции в каком угодно порядке в нашем списке т.е. перегруппировать их. От того, что мы сами функции меняем местами, у нас новых функций не добавляется и не убавляется. Понятно, что и в этом случае, указанная схема рассуждения приводила к одному и тому же результату. Но теперь ситуация иная, чем со вторым слагаемым.
Дело в том, что множество функций, есть очевидно счетное множество. Но множество всех счётных ПОДмножеств счётного множества, уже не есть счётное множество. Оно имеет мощность большую, чем мощность счётного множества и имеет мощность континуума. Таким образом, мы имеем не просто счётное множество арифметических функций, которые не представимы в нашем языке, а мы имеем, их континуум. Вот этот результат, уже является крестом для всех желающих формализовать всё на свете, или чающих надежды, в следствии своего полного непонимания существа дела сохранить за собой рациональное право неверия. Дело в том, что любой язык, хоть придуманный сейчас, хоть придуманный потом, хоть когда, ВСЕГДА даёт возможность, выразить (формализовать) ТОЛЬКО счётное количество арифметических предложений. Даже совокупность всех языков ( а их бесконечно), каждый из которых реализует бесконечное количество функций, ВСЕ РАВНО представляет собой счётное множество счётных множеств, а такое множество – счётно. В то время, как было показано, что уже в самом простом случае, мы имеем сразу несчётное количество арифметических предложений. И та ситуация, что наш язык не смог с ними справиться, не случайна, эти предложения, возникнув однажды, не денутся не куда. Они НАВСЕГДА останутся неформализуемыми. Но их существование, вытекает с необходимой силой. Ч.Т.Д.
