«Хорошо определена» - означает, что указан явным образом способ, как по каждой паре натуральных чисел получить другое натуральное число соответствующее ей.
А способ и алгоритм здесь не одно и то же ? Насколько я понимаю, способ – это мысль, алгоритм – выражение этой мысли на языке.
Здесь одно и тоже.
«Алгоритм» - столь же фундаментальное понятие не имеющее определения, как и число и множесто, существуют только различные схемы формализации (по Тьюрингу по Маркову и д.р.) – все они эквивалентны.
Т.к. передать мысль Вы можете только с помощью языка, то здесь их можно рассматривать как синонимы.
Здесь как синонимы. Для передачи мысли – язык абсолютно не нужен. «Понимание» реализуется за пределами лингвистических катеорий. Влюбленные понимают без слов, также и люди имеющие одинаковый духовный опыт.
Честно говоря, мало что понял. Здесь есть что-то важное, или можно сразу читать дальше?
Все важно, нужно все читать.
Конечно начхать, но взять какой-то список всё-равно надо. Вы же пишете программы, значит понимаете, что если вместо списка Вы в качестве аргумента попытаетесь использовать множество списков, компилер Вас просто отругает.
Я вроде ясно объяснил – список есть следствие предположение, если списка нет то и говорить вообще не о чем.
Не доказано. Это может оказаться и одна и та же функция.
Ну это уж в две строки вы можете доказать сами. (вспомните какие функции называются разными)
Про континуум и множество функций?
Про подмножество и про то, что язык каждый позволяет выразить не более чем счетное множество функций, а всех языков счетно, потому счетное множество счетных множеств – счетно.
Впрочем тут доказывать ничего не нужно, все доказано уже давно, нужно только открыть соответсвующие учебники.
Континуум – это мощность множества действительных чисел. Т.е. здесь надо доказать, что действительных чисел больше, чем счётное множество.
Ничего доказывать не нужно. Все доказано давным- давно.
Та же самая диагонализация, только вместо значений функций – десятичные цифры, вместо аргументов – позиция цифры в числе.
Какие «десятичные цифры»?
Множество и множество всех подмножеств 2^n –не равномощны, последнее верно как для конечных так и для бесконечных множеств. Однако множество всех подмножеств счетного множества равномощно R. Но тут у нас речь идет о бесконечный перестановках счетного множества( у меня там описка в нач. тексте, токо щас заметил) – однако и оно имеет мощность континуума. (докажите!)
Странно, а разве это не то, что Вы давеча уже доказали? А я, вроде бы как, оспариваю это.
Хм… что-то я запутался… Что Вы хотите оспорить?
Оно не может быть «не так» - поскольку явным образом указано, «что именно» и «как».
Я усматриваю в этом противоречие. Поскольку у Вас в одном месте «явным образом указано, «что именно» и «как»», а в другом неявным указывается, что на входе есть список функций.
Если же списка нет, то и funcn_k(x) нет, не определена.
Список, ещё раз говорю – предположение. Если мы не можем функцию запрограммировать, то вот мы доказали, что есть функции которые невыражаемы на нашем языке. Что и требовалось доказать, поэтому мы предпологаем противное, что ВСЕ можно записать на нашем языке, а вот тогда, они будучи записанными представлют собой некоторый код= слово в нашем языке. Но все слова можно ЭФФЕКТИВНО занумеровать (так наз. «геделева нумерация»).
Можно было бы в качестве аргумента функции использовать константу. Например F(x,y) можно превратить в функцию одной переменной так – F(1,y). Но для этого нужно явно указать x=1. А Вам, соответственно, нужно указать конкретный список.
Нам не нужно явно указывать никакого конкретного списка.( См выше.)
Э-э-э не так быстро. Из всех, сколько бы их ни было, нас интересует лишь одна, та которая построена для данного конкретного списка. Вы утверждаете, что функция определена, но не программируется. Я подозреваю, что функция не определена.
Вам не нужно подозревать. Она определена явным образом.
Не понимаю – я же ясно все вроде объяснил? Что тут не понятного?
( Кстати Вам буква «G» – имя никакого ученого случайно не напоминает?).
Нет.
Так и думал…
Давайте проверим вместе, а то у меня не получается.
Давайте. Начните что-то делать и я вам помогу. Сам я ничего за вас делать не буду, готов только подкорректировать ваши попытки.
Но сама функция –выразима в том смысле, что существует такой х, что х*х=-1,
Не х, а f(x). Функция, очевидно, равна константе, если бы справа стояло неотрицательное число.
Я и привел вам не x а именно F(x). То что функция равна константе – совершенно не очевидно. Все зависит от той структуры на которой определена функция.
Но вообще, то о чем я говорю в той теореме, когда говорю о выразимости - несколько больше, чем то что предпологаете видимо Вы.
Да, похоже. Никак не могу взять в толк, чем отличается выразимость от возможности построить алгоритм, вычисляющий значение с любой наперёд заданной точностью. (Ну, может быть, ещё и не дольше, чем за известное заранее количество времени.)
Алгоритм в данном случае синоним «слова» в каком либо языке.
Слова умеют что-то выражать, нести какое-то значение. Так вот – в словах реальность невыразима. Реальность шире чем рациональное мышление, и реальность просачивается через сетку рационального познания.
Какая система уравнений? Это Вас куда –то уже не туда понесло извините…
Ну одно уравнение. Собственно, его можно рассматривать как систему, состоящую из одного уравнения. Какая разница как назвать?
Я все-таки не могу понять, о чем вы?
У нас и в помине нет никакой системы уравнений.
Ну как же нет? Если стоит знак равно, это разве не уравнение?
Нет конечно. (в общем случае)
Это гипотетический пример того, во что превращается выражение H(k,x)=funcn_k(x).
Если конкретного списка нет,
У нас есть конкретный список. Ну поступите так: возьмите какой-нибудь язык и начните составлять на нем программы. Самой минимальной длине которую можно написать на этом языке присвойте номер «1» - если у нас несколько программ имеют одинаковую длину то нумеруйте их в алфавитном порядке. Поступая так вы каждой программе присвоите некоторый номер, вот у вас и будет «конкретный список». Функция H(x,y) – вообще не обязана быть программируемой на нашем языке, я же написал, что это «просто условная схема записи функций». Но я эту схему привел просто для наглядности. Но эта функция – функция. G(x) – тоже функция. Вот про неё мы уже делаем однозначное заявление – она не может быть запрограммирована.
то он, как я писал ранее, должен быть аргументом функции H. Т.е. надо бы написать H(list, k, x) = func_list_k(x).
Мы проводим рассуждение для конкретного списка, а потом отмечаем, что списков – континуум. Тем и показываем что и G –континуум, и все они различны. (докажите самостоятельно)
Здесь же я предположил, что конкретный список уже указан.
Конечно указан. Правильно предположили. Мы проводим рассуждение для конкретного списка. А существование хотя бы одного списка вытекает из того, что мы ПРЕДПОЛАГАЕМ что каждую функцию можно запрограммировать, а потому ДОКАЗЫВАЕМ, что раз запрограммировать можно, то МОЖНО И ЗАНУМЕРОВАТЬ т.е. получить конкретный СПИСОК.
Подытаживая,
похоже разногласия у нас заключаются в том, что Вы считаете, что у Вас есть определение функции, а я считаю, что на самом деле там задаётся система уравнений.
Система уравнений – здесь вообще не причем. Просто поймите логику.
PS. Насколько мне известно, в теории множеств было обнаружено какое-то противоречие (видимо, связано с бесконечными множествами).
Было.
Теперь эта теория исправляется (как я надеюсь) или строится заново.
Исправлена теми самыми людьми кто это противоречие и обнаружил. Но исправление оказалось таковым, что Гедель рассуждая на тему этих исправлений «действительно ли все так гладко как хотят выдать нам тут Рассел с Уаетхедом» - пришел к выводу, что если исправления оказались действительно точными, то в таком случае система существенно не полна. На сегодня известно: ни формальная теория множеств, ни арифметика – не допускают своей полной аксиоматизации, и не достаточно выразительны чтобы представить в себе все функции арифметики и теории множеств. А Тарский доказал и большее, что арифметическая истина – вообще невыразима средствами арифметики.
Но, однако, после случившегося утвержения теории о бесконечных множествах уже не вызывают такого доверия как ранее. В любой момент может быть обнаружено и ещё какое-нибудь противоречие.
Не может. Непротиворечивость арифметики доказано давным давно, доказательство можно найти, если не изменяет память в книжке Коэна. (а у нас тут все сводится к арифметике, просто я скрыл этот момент пока) Арифметика – просто не полна, а что касается теории множеств, то те вопросы которые касались противоречий связанных в ней, мы ни как не брали. Остальные выводы – это теоремы, которые доказаны, и верны.
PPS. Истинность конечного множества высказываний может быть проверена простым перебором всех высказываний.
Не может. Не может ни как конечного не так бесконечного.
Геделевский нульместный предикат G – суть такой предикат,
который истинный в том и только в том случае, если ДОКАЗАТЬ его истинность –НЕВОЗМОЖНО. Любопытно?
Истинность счётного множества высказываний может быть установлена с помощью аксиомы мат. индукции.
Нет. Множество истинных арифметическихформул, которые не могут быть доказаны средствами арифметики счетно, но неперечислимо. (это значит, что оно в том числе неисчерпаемо, в том смысле, что никогда ни какое расширение или пополнение аксиоматики все равно не исчерпает нам этого множества истин. Т.е. будет оставться всегда сухой остаток (бесконечны) – не доказуемых утверждений.
Собственно, её можно рассматривать как неявное обределение понятия «истина» для бесконечного множества высказываний.
Нельзя. См. теорему Тарского.
Есть ли соответствующий инструмент для континуума высказываний?
У нас нет никакого «континуума высказываний». Континуум высказываний – это фантом, он существует лишь постольку поскольку мы предположили с самого начала, что будто-бы
мы всякий объект можем представить средставми некоторого языка. Но из этого как мы видели следует ,что существуют числа, которые равны следующим за ним, что противоречит аксиомам Пеано. Поэтому мы откидываем это предположение как неверное, и принимаем обратное: не всякий объект можно выразить в каком либо языке. Т.е. объекты есть, а вот рассказать о них в словах – невозможно (так обстоит дело и с Богом).
Если нет, то мы даже не сможем математически строго проверить даже истинность простой формулы f1(x) == f2(x), ибо надо проверить целый континуум совпадений. В самой же формальной логике определения, что такое истинность континуума высказываний, нет, поскольку там когда создаются сложные высказывания, их составляющие перечисляются через запятую. Т.е. речь идёт не более, чем о счётном множестве.
Совсем не нужно перечислять высказывания через запятую. Континуум – это название мощности множества R.
А аксиомы R – отличны, от аксиом арифметики. Там есть дополительная аксиомы формулируемые иногда либо в терминологии Дедекинда либо Коши (каждая фундаментальная последовательность – имеет предел).
Более того, человеческая мысль (по всей видимости) не может представить себе континуум, а логика изучает мышление. В общем, о континууме логика и понятия не имеет.
Это вы уже наговорили…
Исходя из этого, а также из предыдущего замечания, интересно было бы построить другую математику, такую, где нет множеств более, чем счётных.
Такая математика бессмысленна. Множества более чем счетные – есть. Поскольку множество всех подмножеств ЛЮБОГО множества не равномощно исходному множеству.
Может быть, получится система более стройная и красивая, чем сейчас.
Все уже исследовано вдоль и поперек.
:wink:
Ничего страшного. Продолжим после нового года. Главное запомнить, что мы на 10-й странице.[/quote]
Я вернулся, но пока дела ещё есть. Первый раз был в Москве…
ужасный город, как тут люди живут, просто мрак. У нас есть район с многоэтажками, но это только район, а тут весь город как наш сплошной район. Люди как сумасшедшие буквально носятся по метро, само метро – грязное. Даже на выходе на красную площадь…
Площадь маленькая, не так как я предполагал, брусчатка – не ровная, к Ленину не пустили. Вид на Гос .думу застроен какой-то гостиницей. Еда в гостинице - какая-то однообразная на вкус, и не вкусная. Цены в два раза выше, пробки сплошные, (стояли два часа шоб проехать три километра) полно каких-то людей с пространными взглядами .В метро на против меня встал какой-то йог и впялился в меня, при этом не держался за поручни ,но смотрел со взглядом как будто бы я его заклятый враг. Я уже думал шо он щас взорвет шо нибудь тут. Холодно. Красивых девушек не видел. На против православных храмов собирают деньгу буддисты ( я по замешательству дал им денег и теперь меня мучает совесть). Вообщем захолустье…
