Видимо что-то типа этого произошло:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0.BD.D0.B8
Эффект релятивистского замедления времени был сформулирован Альбертом Эйнштейном в его работе 1905 года в виде следующей теоремы:
Если в точке А находятся двое синхронно идущих часов и мы перемещаем одни из них по замкнутой кривой с постоянной скоростью до тех пор, пока они не вернутся в А (на что потребуется, скажем, t сек), то эти часы по прибытии в А будут отставать по сравнению с часами, остававшимися неподвижными… [1]
В форме парадокса этот эффект сформулировал в 1911 году Поль Ланжевен [2]. Придание парадоксу наглядной истории космического путешествия сделало его популярным, в том числе и в ненаучных кругах. Сам Ланжевен считал, что объяснение парадокса связано с ускоренным движением путешественника, которое необходимо для его возвращения на Землю.
Следующим анализ парадокса предпринял Макс фон Лауэ в 1913 году [3]. С его точки зрения важны не этапы ускорения путешественника, а сам факт смены им инерциальной системы отсчёта при возвращении на Землю.
После создания Общей теории относительности Альберт Эйнштейн в 1918 году объяснил парадокс при помощи факта влияния гравитационного поля на ход времени [4].
Затем, в 1921 году простое объяснение, основанное на инвариантности собственного времени, предложил Вольфганг Паули [5].
Некоторое время «парадокс близнецов» почти не привлекал к себе внимания. В 1956-59 гг. Герберт Дингл выступил с рядом статей [6] [7], в которых утверждалось, что известные объяснения «парадокса» неверны. Несмотря на ошибочность аргументации Дингла [8] [9], его работы вызвали многочисленные дискуссии в научных и научно-популярных журналах [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17]. В результате появился ряд книг, посвящённых этой теме. Из русскоязычных источников стоит отметить книги [18] [19] [20] [21], а также статью [22].
Большинство исследователей не считают «парадокс близнецов» демонстрацией противоречия теории относительности, хотя история появления тех или иных объяснений «парадокса» и придания ему новых форм не прекращается до настоящего времени [23] [24] [25] [26] [27].
[править] Классификация объяснений парадокса
Объяснить парадокс, подобный «парадоксу близнецов», можно при помощи двух подходов:
1) Выявить происхождение логической ошибки в рассуждениях, которые привели к противоречию;
2) Провести детальные вычисления величины эффекта замедления времени с позиции каждого из братьев.
Первый подход зависит от деталей формулировки парадокса. В разделах «Простейшие объяснения» и «Физическая причина парадокса» будут приведены различные версии «парадокса» и даны объяснения того, почему противоречия на самом деле не возникает.
В рамках второго подхода расчёты показаний часов каждого из братьев проводятся как с точки зрения домоседа (что обычно не представляет труда), так и с точки зрения путешественника. Так как последний менял свою систему отсчёта, возможны различные варианты учёта этого факта. Их условно можно разделить на две большие группы.
К первой группе относятся вычисления на основе специальной теории относительности в рамках инерциальных систем отсчёта. В этом случае этапы ускоренного движения считаются пренебрежимо малыми по сравнению с общим временем полёта. Иногда вводится третья инерциальная система отсчёта, движущаяся навстречу путешественнику, при помощи которой показания его часов «передаются» брату-домоседу. В разделе «Обмен сигналами» будет приведен простейший расчёт, основанный на эффекте Доплера.
Ко второй группе относятся вычисления, учитывающие детали ускоренного движения. В свою очередь, они делятся по признаку использования или неиспользования в них теории гравитации Эйнштейна (ОТО). Расчёты с использованием ОТО основаны на введении эффективного гравитационного поля, эквивалентного ускорению системы, и учёте изменения в нём темпа хода времени. Во втором способе неинерциальные системы отсчёта описываются в плоском пространстве-времени и понятие гравитационного поля не привлекается. Основные идеи этой группы расчётов будут представлены в разделе «Неинерциальные системы отсчёта».
[править] Кинематические эффекты СТО
В основе СТО лежат преобразования Лоренца. Для понимания сути парадокса близнецов необходим аккуратный анализ основных кинематических эффектов, которые из них следуют. Рассмотрим две системы отсчёта textstyle S и textstyle S', пространственные оси которых параллельны друг другу. Пусть система textstyle S' движется относительно textstyle S вдоль оси textstyle x со скоростью textstyle v, тогда:
x'=frac{x-vt}{sqrt{1-v^2/c^2}},;;;;;;;;;;;;;t'=frac{t-vx/c^2}{sqrt{1-v^2/c^2}},
где textstyle (x,t) — координата и время события, измеренные в «неподвижной» системе отсчёта textstyle S, а textstyle (x',t') — координата и время того же события для наблюдателя, связанного с «движущейся» системой textstyle S'.
[править] Замедление времени
Если часы неподвижны в системе textstyle S', то для двух последовательных событий имеет место textstyle Delta x'=0. Такие часы перемещаются относительно системы textstyle S по закону textstyle Delta x=vDelta t, поэтому интервалы времени связаны следующим образом:
Delta t'=Delta tcdotsqrt{1-v^2/c^2}.
Важно понимать, что в этой формуле интервал времени textstyle Delta t' измеряется одними движущимися часами textstyle S'. Он сравнивается с показаниями textstyle Delta t нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе textstyle S, мимо которых пролетают часы textstyle S'. В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы textstyle S' идут медленнее неподвижных часов.
Важный аспект эффекта замедления времени связан с эквивалентностью инерциальных систем отсчёта (принцип относительности). Часы, неподвижные в системе textstyle S: textstyle Delta x=0, движутся относительно синхронизированных часов в системе textstyle S': textstyle Delta x'=-vDelta t'. В результате, часы textstyle S будут идти медленнее по сравнению с часами в системе textstyle S':
Delta t=Delta t'cdotsqrt{1-v^2/c^2}.
Несмотря на совпадения обозначений в двух последних формулах, они не противоречат друг другу. Каждая их них описывает различные измерительные процедуры. В первом случае одни часы textstyle S' движутся мимо нескольких часов в textstyle S, а во втором случае ситуация обратная, и одни часы textstyle S движутся мимо нескольких часов в textstyle S'.
[править] Относительность одновременности
Относительность одновременности событий является ключевым эффектом СТО, необходимым для понимания «парадокса близнецов». Рассмотрим несколько синхронизированных часов, расположенных вдоль оси textstyle x в каждой из систем отсчёта. В преобразованиях Лоренца предполагается, что в момент времени textstyle t'=t=0 начала систем отсчёта совпадают: textstyle x'=x=0. Ниже изображена такая синхронизация отсчёта времени (на «центральных» часах) с точки зрения системы отсчёта textstyle S (левый рисунок) и с точки зрения наблюдателей в textstyle S' (правый рисунок):
Twins sync1.png Twins sync2.png
Предположим, что рядом с каждыми часами в обоих системах отсчёта находятся наблюдатели. Положив в преобразованиях Лоренца textstyle t'=0, получаем textstyle t=vx/c^2. Это означает, что наблюдатели в системе textstyle S', одновременно с совпадением времени на центральных часах, регистрируют различные показания на часах в системе textstyle S. Для наблюдателей, расположенных справа от точки textstyle x=0, с координатами textstyle x>0, в момент времени textstyle t'=0 часы неподвижной системы отсчёта показывают «будущее» время: textstyle t=vx/c^2>0. Наблюдатели textstyle S', находящиеся слева от textstyle x=0, наоборот, фиксируют «прошлое» время часов textstyle S: textstyle t<0>t'. Поэтому, если путешественник решит остановиться (быстро затормозив), ничего не изменится, и он попадёт в «будущее» системы textstyle S. Естественно, после остановки темп хода его часов и часов в textstyle S станет одинаковым. Однако, часы путешественника будут показывать меньшее время чем часы системы textstyle S, находящиеся в точке остановки. В силу единого времени в системе textstyle S часы путешественника отстанут от всех часов textstyle S, в том числе и от часов его брата. После остановки путешественник может вернуться домой. В этом случае весь анализ повторяется. В результате, как в точке остановки и разворота, так и в исходной точке при возвращении путешественник оказывается моложе своего брата-домоседа.
Если же вместо остановки путешественника до его скорости ускорится домосед, то последний «попадёт» в «будущее» системы путешественника. В результате «домосед» окажется моложе «путешественника». Таким образом:
кто изменяет свою систему отсчёта, тот и оказывается моложе.
[править] Обмен сигналами
Вычисление замедления времени с позиции каждого брата можно провести при помощи анализа обмена сигналами между ними. Хотя братья, находясь в различных точках пространства, не могут непосредственно сравнивать показания своих часов, они могут передавать сигналы «точного времени» при помощи световых импульсов или видеотрансляции изображения часов. Понятно, что при этом они наблюдают не «текущее» время на часах брата, а «прошлое», так как сигналу требуется время для распространения от источника к приёмнику.
При обмене сигналами важную роль играет эффект Доплера. Если источник удаляется от приёмника, то частота сигнала уменьшается, а когда он приближается — увеличивается:
Twins doppler intro.png
где textstyle nu_0 — собственная частота излучения, а textstyle nu — частота принимаемого наблюдателем сигнала. Эффект Доплера имеет классическую составляющую и составляющую релятивистскую, непосредственно связанную с замедлением времени. Скорость textstyle v, входящая в соотношения изменения частоты, является относительной скоростью источника и приёмника.
Рассмотрим ситуацию, в которой братья передают друг другу каждую секунду textstyle nu_0=1 (по своим часам) сигналы точного времени. Проведём сначала расчёт с позиции путешественника.
[править] Расчёт путешественника
Пока путешественник удаляется от Земли, он, в силу эффекта Доплера, регистрирует уменьшение частоты принимаемых сигналов. Видеотрансляция с Земли выглядит более медленной. После быстрого торможения и остановки путешественник перестаёт удаляться от земных сигналов, и их период сразу оказывается равным его секунде. Темп видеотрансляции становится «естественным», хотя, в силу конечности скорости света, путешественник по-прежнему наблюдает «прошлое» своего брата. Развернувшись и разогнавшись, путешественник начинает «набегать» на идущие ему навстречу сигналы и их частота увеличивается. «Движения брата» на видеотрансляции с этого момента начинают выглядет для путешественника ускоренными.
Время путешествия по часам путешественника в одну сторону равно textstyle t'_1, и такое же в обратную. Количество принятых «земных секунд» в течение путешествия textstyle t'=2t'_1 равно их частоте textstyle nu, умноженной на время. Поэтому при удалении от Земли путешественник получит существенно меньше секунд:
t_1 = t'_1cdot sqrt{frac{c-v}{c+v}} <t> t'_1.
Суммарное количество секунд, полученных с Земли за время textstyle t'=2t'_1, больше, чем переданных на неё:
t = t_1 + t_2 = t'_1cdot frac{c-v}{sqrt{c^2-v^2}} + t'_1cdot frac{c+v}{sqrt{c^2-v^2}}= frac{t'}{sqrt{1-v^2/c^2}},
в точном соответствии с формулой замедления времени.
[править] Расчёт домоседа
Несколько иная арифметика у домоседа. Пока его брат удаляется, он также регистрирует увеличение периодов точного времени, передаваемых путешественником. Однако, в отличие от брата, домосед наблюдает такое замедление дольше. Время полёта на расстояние textstyle L в одну строну составляет по земным часам textstyle t_1. Торможение и разворот путешественника домосед увидит спустя дополнительное время textstyle t_2=L/c, требуемое свету для прохождения расстояния textstyle L от точки разворота. Поэтому, только через время textstyle t_1+t_2 от начала путешествия домосед зарегистрирует ускоренную работу часов приближающегося брата:
Twins doppler.png
Время движения света от точки разворота выражается через время полёта к ней путешественника следующим образом (см. рисунок):
t_2=frac{L}{c}=frac{vt_1}{c}.
Поэтому количество «секунд», полученных от путешественника, до момента его разворота (по наблюдениям домоседа) равно:
t'_1 = (t_1+t_2)cdotsqrt{frac{c-v}{c+v}} = t_1cdot left(1+frac{v}{c}right)cdotsqrt{frac{c-v}{c+v}} = t_1cdot sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}.
Сигналы с повышенной частотой домосед принимает в течение времени textstyle t_1-t_2 (см. рисунок выше), и получает textstyle t'_2 «секунд» путешественника:
t'_2= (t_1-t_2) cdotsqrt{frac{c+v}{c-v}} = t_1cdot left(1-frac{v}{c}right)cdotsqrt{frac{c+v}{c-v}} = t_1cdot sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}.
Суммарное число полученных «секунд» за время textstyle t=2t_1 равно:
t'= t'_1+t'_2 = tcdotsqrt{1-v^2/c^2}.
Таким образом, соотношение для показания часов в момент встречи путешественника (textstyle t') и брата-домоседа (textstyle t) не зависит от того, с чьей точки зрения оно рассчитывается.
[править] Неинерциальные системы отсчёта
В произвольных системах отсчёта свойства пространства и времени определяются метрическим тензором textstyle g_{munu}, задающим интервал между двумя бесконечно близкими событиями:
ds^2 = g_{munu},dx^mu dx^nu = g_{00}, (dx^0)^2 + 2,g_{0i},dx^0dx^i + g_{ij},dx^idx^j,
где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование (по греческим буквам от 0 до 3, а по латинским от 1 до 3), textstyle x^0=ct — временная координата, textstyle x^i=(x,y,z) — пространственные. Собственное время часов вдоль их траектории определяется следующим образом:
frac{1}{c}intlimits^t_0 ds.
Его величина является инвариантом, следовательно, вычисления проведенные в различных системах отсчёта, должны давать один и тот же результат.
[править] Расчёт домоседа
Близнец, оставшийся на Земле, находится в инерциальной системе отсчёта, поэтому для него метрика может быть выбрана таким образом, что
ds2 = (cdt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2.
В этом случае собственное время любых часов принимает простой вид:
intlimits^t_0sqrt{1-mathbf{u}^2(t)/c^2}cdot dt,
где textstyle mathbf{u}(t) — скорость этих часов. Земные часы неподвижны (textstyle mathbf{u}=0), и их собственное время равно координатному textstyle tau_0=t. Часы путешественника имеют переменную скорость textstyle mathbf{u}(t). Так как корень под интегралом остаётся всё время меньше единицы, время этих часов, независимо от явного вида функции textstyle mathbf{u}(t), всегда оказываются меньше textstyle t. В результате textstyle tau'_0<tau_0.
Если разгон и торможение проходят релятивистски равноускоренно (с параметром собственного ускорения textstyle a) в течение τ1, а равномерное движение — τ2, то по часам корабля пройдёт время [29]:
tau_0 = frac{2c}{a},lnleft[frac{atau_1}{c}+sqrt{1+left(frac{atau_1}{c}right)^2}right] + frac{tau_2}{sqrt{1+(atau_1/c)^2}}.
Рассмотрим гипотетический полёт к звёздной системе Альфа Центавра, удалённой от Земли на расстояние в 4.3 световых года. Если время измеряется в годах, а расстояния в световых годах, то скорость света textstyle c равна единице, а единичное ускорение textstyle a=1 св.год/год² близко к ускорению свободного падения и примерно равно 9.5 м/c².
Пусть половину пути космический корабль двигается с единичным ускорением, а вторую половину — с таким же ускорением тормозит (textstyle tau_2=0). Затем корабль разворачивается и повторяет этапы разгона и торможения. В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7.3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0.95 от скорости света.
За 64 года собственного времени космический корабль с единичным ускорением потенциально может совершить путешествие (вернувшись на Землю) к галактике Андромеды, удалённой на 2.5 млн. св. лет. На Земле за время такого полёта пройдёт около 5 млн лет.
[править] Расчёт путешественника
Для проведения того же расчёта с позиции путешественника, необходимо задать метрический тензор, соответствующий его неинерциальной системе отсчёта. Относительно этой системы скорость путешественника нулевая, поэтому время на его часах равно
tau'_0=intlimits^t_0sqrt{g_{00}};dt.
Заметим, что textstyle t является координатным временем и в системе путешественника отличается от времени textstyle t системы отсчёта домоседа.
Земные часы свободны, поэтому они движутся вдоль геодезической, определяемой уравнением [30]:
frac{d^2x^mu}{ds^2}+Gamma^mu_{nulambda},frac{dx^nu}{ds}frac{dx^lambda}{ds}=0,
где textstyle Gamma^mu_{nulambda} — символы Кристоффеля, выражающиеся через метрический тензор textstyle g_{munu}. При заданном метрическом тензоре неинерциальной системы отсчёта эти уравнения позволяют найти траекторию textstyle x^i(t) часов домоседа в системе отсчёта путешественника. Её подстановка в формулу для собственного времени даёт интервал времени, прошедший по «неподвижным» часам:
tau_0 = intlimits^t_0 sqrt{g_{00} + 2g_{0i},u^i/c + g_{ij},u^iu^j/c^2}cdot dt,
где textstyle u^i(t)=dx^i/dt — координатная скорость земных часов.
Подобное описание неинерциальных систем отсчёта возможно либо при помощи теории гравитации Эйнштейна, либо без ссылки на последнюю. Детали расчёта в рамках первого способа можно найти, например, в книге Фока [31] или Мёллера [32]. Второй способ рассмотрен в книге Логунова [33].
Результат всех этих вычислений показывает, что и с точки зрения путешественника его часы отстанут от часов неподвижного наблюдателя. В итоге разница времени путешествия с обоих точек зрения будет одинаковая, и путешественник окажется моложе домоседа. Если длительность этапов ускоренного движения много меньше длительности равномерного полёта, то результат более общих вычислений совпадает с формулой, полученной в рамках инерциальных систем отсчёта.
[править] Выводы
Рассуждения, проводимые в истории с близнецами, приводят только к кажущемуся логическому противоречию. При любой формулировке «парадокса» полной симметричности между братьями нет. Кроме этого, важную роль для понимания того, почему время замедляется именно у путешественника, менявшего свою систему остчёта, играет относительность одновременности событий.
Расчёт величины замедления времени с позиции каждого брата может быть выполнен как в рамках элементарных вычислений в СТО, так и при помощи анализа неинерциальных систем отсчёта. Все эти вычисления согласуются друг с другом и показывают, что путешественник окажется моложе своего брата-домоседа.
Парадоксом близнецов часто также называют сам вывод теории относительности о том, что один из близнецов состарится сильнее другого. Хотя такая ситуация и необычна, в ней нет внутреннего противоречия. Многочисленные эксперименты по удлинению времени жизни элементарных частиц и замедлению хода макроскопических часов при их движении подтверждают теорию относительности. Это даёт основание утверждать, что замедление времени, описанное в истории с близнецами, произойдёт и при реальном осуществлении этого мысленного эксперимента.
Цытата. Ржу. В библии ничего такого не наблюдается. В смысле научности.
