Тут фишка вот в чём...
Сей приём выдуман отнюдь не Эйнштейном. Вот аналогичный пример.
Уравнение движения маятника:
х"+w²*sin(x)=0.
Но для "малых" отклонений делают приближённую подстановку sin(x)=х, и получают классическое уравнение синусоиды
х"+w²*x=0.
Точно так же обосновывается замена, через ряд Маклорена.
Это всё понятно, но там так и говорят, что пренебрегаем степенями начиная с двойки в силу их малости.
Вопрос не в том как и почему используют ряды для аппроксимации, а в том, почему (v≪C), а не (v²≪C²).
Математически всё понятно, малость v/C нужна, что бы в принципе можно было использовать ряд Тейлора в окрестностях точки нуль. Однако, ряд Тейлора бесконечен. И для аппроксимации следует дополнительное скрытое требование: пренебрегаем всеми членами ряда, в которых (v²≪C²). Первое условие чисто математическое, второе физическое.
Видим, что для того, что бы преобразования Лоренца приблизительно соответствовали преобразованиям Галилея требуется не (v≪C), а иное условие: (v²≪C²).
Вот я и спросил. В чём физический смысл такого условия?
