Вопрос не совсем по религии, но не флейм же его помещать.
В математике что такое истина?
Истина в математике- это утверждение полученное на основании
ЛОГИЧЕСКОГО ЗАКОНА.
1. Я спрашивал о математике, а не о логике. Представьте, что науки "логика" ещё не существует. Что же такое истина в мастематике?
2. Логика под истиной понимает значение выражения, а утверждение - это само выражение. У выражения кроме значения имеется ещё смысл.
Дело в том ,что логика от математики не отделима. Без логики,
математическая наука не мыслима. Можно даже сказать, что
математика является частным случаем логики. Математика по
одному из определений является нечем иным как цепочкой
тавтологий. Великий математик Давид Гилберт говорил: " вся
математика это одно и тоже, сказанное разными словами".
Вообще же математика, занимается изучением неких формальных
систем. В которых заданны определённые соотношения между
её объектами и определенны некоторые операции "над" ними.
Формализация же как раз и заключенна в постулировании неких
свойств отношений и операций над этими объектами. Поэтому свойства
тех или иных операций и отношений которые мы постулируем, являются
одновременно и их определением. При этом само множество называется
носителем, а множество операций определённых на нём назавается сигнатурой.
Приведу некоторые примеры:
Говорят, что на множестве заданна бинарная операция если существует
правило согласно которому любым двум элементом поставлен в соответствие
некоторый третий.
Этим мы определили "широкое" понятие операции, далее будем её
формализовывать, для наших целей (естественно это не единственный способ)
1.Операция обладает свойством замкнутости, т.е. любым двум элементам
из нашего множества не только поставлен в соответствие некоторый третий,
но и сам этот третий так же пренадлежит начальному множеству.
2.Опреция обладает свойством Асоциативности т.е a*(b*c)=(a*b)*c
3.Операция обратима(или обладает обратной операцией) т.е. уравнения
вида a*x=b и y*a=b всегда имеют и притом единственное решение,
где x,y также принадлежат исходному множеству,при этом естественно x и y
не обязанны совподать.
4.Операция обладает свойством коммутативности т.е. x*y=y*x для любых x,y.
Определение. Не пустое множество с заданной на нём сигнатурой
состоящей из одной бинарной операции,называется группой, если операция
обладает свойствами 1-3.И обозначается символом G=(M,*) где "*" - изображение
данной опрации. Если к тому же выполняется свойство 4, то группа называется
Абелевой. Вот примерно таким образом и определяется смысл выражения,
про который Вы спрашивали.
Теперь касательно "истины":
Теорема 1. В каждой группе, для некоторого его элемента A, существует элемент Z такой,
что A*Z=A.
Доказательство
По скольку множество является группой, то выполняется свойство 3,
тогда согласно этому свойству, урвнение A*x=A должно иметь
единственное решение x.Обозначим этот элемент за Z. Имеем
A*Z=A. Ч.Т.Д
Теорема 2.Элемент Z указанный в теореме 1 обладает таким свойством
по отношению ко всем элементам группы.
Доказательство
Возьмём произвольный элемент W согласно cвойству 3,для некоторого
элемента A,найдётся y такой, что y*A=W (****) , домножим последнее справа на Z
имеем, (y*A)*Z=W*Z в силу ассоциативности,имеем y*(A*Z)=W*Z в силу теоремы 1
имеем y*A=W*Z в силу (****) имеем W=W*Z. Ч.Т.Д
Элемент Z обладающий найденным свойством, будем называть нейтральным
или еденичным справа, и обознчать символом E1.
Так же можно доказать,что существует нейтральный слева E2, причём они
совпадают т.е. E1=E2. Предлагаю Вам самостоятельно в этом убедится.
Данные примеры показывают, что истинна в математике сохраняет
свой смысл, который имеется в логике. А теоремы 1,2 - и есть
как раз конкретные примеры истин выполняемых в той или иной,
формальной системе, а конкретно в группе. Причём как Вы смогли
заметить все они полученны на основании ЛОГИЧЕСКОГО ЗАКОНА.
Говорить же об истине в математике, так как мы понимаем его
скажем в химии,экономике,физике или в нелогическом смысле,
не корректно. Яснее всего Вы это увидите, когда вспомните, что
математика является ещё и абстрактной наукой. Например уравнение y=5x для
экономиста может означать зависимость заработной платы от
проработанного времени, для физика зависимость расстояния от времени, а для
математика это просто зависимость величины у от х- без уточнения того, какое
они имеют реальное содержание. То есть математика специально отвлекается
от конкретного содержания вещей, что бы создать наиболее общие приемы
для проведения вычислений.
