На сей раз чепуху говорите вы.
Ваше def.1 – это ОПРЕДЕЛЕНИЕ, оно единственное: две прямые (в планиметрии) НАЗЫВАЮТСЯ параллельными, если они не имеют общих точек.
Ваше def.2 – def.5 – это ТЕОРЕМЫ.
Нет. Мы
имеем право давать определение "параллельные прямые на плоскости" любым из def.1-5. Это не имеет смысла, но имеет право быть. Так же доказано, что def.1 эквивалентно любому из def.2-5, что доказывает, что def.2-5 эквивалентны между собой.
Для т.н. признаков параллельности даже в школьном курсе доказывают прямую и обратную теоремы.
А определение параллельных одно для всех геометрий.
Исчо раз: как раз из-за того, что оное разъясняет смысл введения понятия "параллельные".
Ещё раз разъясню: скалярное произведение (на евклидовой плоскости) может быть определено 3 разными способами: как в школе
a*
b=|
a|*|
b|*cos(
a;
b) или
a*
b=x_a*x_b+y_a*y_b
или аксиоматически: скалярным произведением называется операция со свойствами ассоциативности (
a*
b=
b*
a), коммутативности, линейности умножения на число (эти два можно выразить одой формулой: ((w
a+
b)*
c=w(
a*
c)+
b*
c) и
a*
a>=0, причём равенство только и только если
a -- нулевой.
Это ЗАКОННЫЕ способы определения скалярного произведения в ЕВКЛИДОВОМ конечномерном пространстве, т.е. в аналитической геометрии, где и доказывается эквивалентность таких определений. Для всех остальных векторных пространств скалярное произведение можно ввести лишь аксиоматически.
Точно так же в рамках матана тригонометрические функции можно вводить как координаты точки поворота на тригонометрической окружности, а можно сразу рядами Тейлора.
Т.е. выбор, что есть определение, а что есть свойства, выводимые из определения, или признаки, приводящие к определению, основывается чисто на методологии изложения материала, т.е. цели, поставленной перед.
Могу как пример привести 2 аксиоматики геометрии (планиметрии и стереометрии), Гильберта и Вейля. В одной база -- прямая и точка, а вектор -- выводимое понятие, в другой база -- вектор и умножение его на число, а точке и прямой даются определения.
Из Гильберта мы имеем наглядное представление геометрических свойств, зато из Вейля большинство теорем доказываются элементарно. Но абсолютно не наглядно.