Переведите-ка на русский свою писанинку. Да и обосновать бы надо.
Я ж ясно написал - речь идет об аксиоматических системах.
Набирайте в гугле "аксиоматическая система ZF" и ознакамливайтесь. Так и по всем остальным.
Но кратко для вас:
ZF - система Цермелло-Френкеля
ZFС - система Цермелло-Френкеля пополненная аксиомой выобора
Q- арифметика Робинсона. Интересна тем, что она "минимальная арифметика" в которой реалзуются теоремы Геделя.
PA - арифметика Пеано (она "сильнее" арифметики Робинсона и в ней тем более реализуются теоремы Геделя)
PRA - примитивно рекурсивная арифметика. Ее непротиворечивость можно доказать не выходя за пределы PA.
NBG - теория множеств Гильберта-Бернайса.
Ну и как я сказал существует множество (бесконечное) всяких других формально-аксиоматических систем. И среди них бесконечное количество полных и непротиоречивых одновременно. Например такие:
1.ФИВ
2.ФИП
А что касается "обосновать" , то поищите энтузиаста в другом месте. На математических факультетах соответствующие курсы читаются по нескольку семестров и требуют предварительной, весьма существенной подготовки.
Но вики вам в помощь,начав с исследования ZF вы можете многое почерпнуть хотя бы "общими мазками". А путеводной звездой пусть будет вам рисунок сделанный древними индусами:
в котором они изложили доказательство теоремы Пифагора. правда все их доказательство состояло из одного единственного слова "смотри".
Вот и вы постарайтесь усмотреть это доказательство. Практика говорит, что усматривают совсем не все, а потому к представленному индусами таковому доказательству в одно слово, имеют притензии в части его строгости...